על כבידה וקוונטים

מאת: שחר דולב

פורסם ב'גלילאו' 56, אפריל 2003.

 

הפיזיקה היום מזכירה כוכב הוליוודי מצליח. היא מציגה, מחד גיסא, הצלחה מסחררת כמו חישובים מדויקים להפליא של התהליכים שמאפשרים את העולם הטכנולוגי המורכב בו אנו חיים. מאידך גיסא, בחדרי חדרים קיימים קונפליקטים פנימיים המעיבים על ההצלחה הגדולה. במבט קדימה מנסים הפיזיקאים לנסח תיאוריה פיזיקלית חדשה, זו שתיישר את ההדורים ובאותה ההזדמנות תוכל אולי להסביר לראשונה את מהות הזמן והמרחב. חלק מהפיזיקאים מקווים, על פי רמזים מסוימים, שזו תהיה התיאוריה הפיזיקלית הסופית והמוחלטת.

הפיזיקה ניצבת כיום על שתי "רגליים": תורת היחסות הכללית - המתארת את הנעשה בטווח המרחקים הגדולים ביותר, ותורת הקוונטים - העוסקת בטווחים הקטנים ביותר. ואולם, שתי התורות מכילות סתירות פנימיות חמורות עד כדי כך שיש מתמטיקאים שהצהירו שכף רגלם לא תדרוך במחלקה לפיזיקה עד שתיושבנה, ואם לא די בכך, שתיהן סותרות אחת את השנייה.

תורת היחסות הכללית

 

המודל הסטנדרטי

מהצד השני של הסקאלה ניצבת התיאוריה מתארת את החלקיקים היסודיים בטבע. תיאוריה זו התפתחה מתורת השדות הקוונטיים ונקראת "המודל הסטנדרטי" של החלקיקים היסודיים. על פי תורה זו, החלקיקים המרכיבים את עולמנו הם בעצם גלים, אדוות בשדות הקוונטיים. כך למשל, אלקטרון הנע מנקודה א' ל-ב' הוא בעצם גל הנע מנקודה א' ל-ב'. כפי שגלי ים הם גלים במים וגלי קול הם גלים באוויר, כך התווך בו נע גל האלקטרון נקרא "שדה האלקטרון". אדוות אלו הן בדרך-כלל זעירות ביותר ולכן הן מתנהגות כאילו היו חלקיקים נקודתיים.

על פי המודל הסטנדרטי הכוחות בטבע נישאים על-ידי חלקיקים (דהינו, גלים). אנו מכירים את הפוטון, שהוא התיאור השימושי של האדוות בשדה האלקטרו-מגנטי. משמעות הדבר היא שכששני מגנטים מושכים או דוחים זה את זה, הם בעצם מחליפים ביניהם פוטונים (נושאי הכוח האלקטרו-מגנטי). ניתן לדמות שני מגנטים הדוחים זה את זה לזוג אנשים המוסרים ביניהם כדור ברזל. בכל פעם שהכדור נמסר או נתפס, בני הזוג נדחים מעט זה מזה. משיכה מתוארת באופן דומה, רק שלא ניתן להקבילה לתהליך מוכר מהעולם המאקרוסקופי. על-פי תיאור זה גם כוח הכבידה אמור להיות מיוצג על-ידי חלקיק: הגרוויטון.

במכניקת הקוונטים לחלקיקים תכונה פנימית הנקראת "סְפִּין". הספין גורם לחלקיקים להתנהג כאילו הסתובבו סביב צירם (נאמר "כאילו" כי אם החלקיקים הם נקודתיים, כיצד הם יכולים להסתובב?). נמצא שחלקיקים קוונטיים לא יכולים להסתחרר במהירות כלשהי, אלא רק בכפולות שלמות של ערך יסודי הנקרא, מטעמים היסטוריים, "חצי h-באר". כל חלקיק מסתחרר במהירות אופיינית לו. אלקטרונים, למשל, מסתחררים תמיד בערך היסודי, ואילו פוטונים מסתחררים תמיד בערך כפול.

המודל הסטנדרטי מסווג את החלקיקים על-פי הספין שלהם לשתי מחלקות עיקריות: בּוֹזוֹנים – שהם בעלי ספין שהוא כפולה זוגית של הערך היסודי (דהינו: 1 , 2, 3 פעמים h-באר), כדוגמת הפוטונים;  ו-פֶרמיוֹנים, שהם בעלי ספין שהוא כפולה אי-זוגית של הערך היסודי (1/2, 3/2, 5/2 פעמים h-באר) כדוגמת האלקטרונים. מתברר כי הפרמיונים נענים לאיסור של פָּאוּלי (Pauli) – לא יכולים להתקיים שני פרמיונים באותו המצב הקוונטי בדיוק – בעוד הבוזונים מקיימים את סטטיסטיקת בּוֹז-איינשטין (Bose-Einstein), שלפיה מספר רב של חלקיקים יכולים להתקיים באותו המצב. הפרמיונים מהווים את חלקיקי החומר ואילו הבוזונים הם נושאי הכוחות. העובדה שחלקיקי החומר הם פרמיונים היא מזל גדול עבורנו, משום שהאיסור של פאולי מונע מכל האלקטרונים באטום "ליפול" לרמת היסוד ומכריח אותם למלא את רמות האנרגיה השונות, ובכך להפגין את העושר הרב של הכימיה.

אז איפה הבעיה?

אם הכול כל כך טוב, מדוע מתמטיקאים סולדים כל-כך מן התיאוריה הפיזיקלית? ובכן, במהלך פיתוח תורת השדות הקוונטיים התקבלו תוצאות אינסופיות לרוב החישובים, ואף לחישובים בסיסיים כגון מאסת האלקטרון או מטענו. לאחר ניסיונות חוזרים ונשנים לסלק אינסופים אלו, שעלו בתוהו, פיתח ריצ'רד פיינמן (Feynman) את השיטה הנקראת "רנורמליזציה". הרנורמליזציה כרוכה בחיסור שני ערכים אינסופיים באופן שמבחינה מתמטית הוא אסור לחלוטין. אך הפלא ופלא, לאחר התעלול המתמטי הזה, תורת השדות הקוונטיים עולה כפורחת והיא מסוגלת להסביר את כל התצפיות ותוצאות הניסויים שנערכו עד כה ברמת דיוק גבוהה מכל תיאוריה אחרת לפניה.

אך לא רק המודל הסטנדרטי מבוסס על מבנה מתמטי רעוע, גם תורת היחסות אינה חפה מבעיות: על-פי "משפט הייחודיות" שהוכיחו רוג'ר פנרוז וסטיבן הוקינג (Penrose, Hawking) בשנות ה-70, פתרונות מסוימים של תורת היחסות מכילים ייחודיות (סינגולריות). ייחודיות היא נקודה במרחב בה העקמומיות אינסופית ולכן התיאוריה עצמה נכשלת שם ואין היא מאפשרת לחשב דבר. הבעיה חמורה משום שפתרונות אלו כל אינם נדירים, וסביר למדי שהתנאים להם (קריסה לחור שחור, ראשית היקום) מתקיימים בעולמנו. מכאן שתורת היחסות הכללית לא יכולה לתאר את היקום שלנו - אין היא יכולה לטפל בחורים שחורים ואין היא יכולה לתאר את ראשיתו של המפץ הגדול.

מסיבות אלו ואחרות מניחים היום ששתי התיאוריות, המודל הסטנדרטי והיחסות הכללית, הינן "אפקטיוויות", דהיינו אין הן אלא קירוב לתיאוריה האמיתית, כזו שתדע לתאר גם את הקטן וגם את הגדול, ללא אינסופים וללא ייחודיות. רמז נוסף לכך ששתי תורות אלו אינן "סוף הדרך" הוא בכך ששתי התורות אינן "מדברות" האחת עם השנייה: תורת היחסות, כאמור, מתארת את הכבידה כעיקום המרחב או שינוי יחסי המרחק בין נקודה לנקודה, ואילו המודל הסטנדרטי מחפש את הגרוויטון, שהוא אדווה בשדה קוונטי. כיצד, אם כן, תיראה אותה התיאוריה של סוף הדרך שתדע לשלב בין שתי התפישות?

מיתרים וממברנות

בכדי לשלב בין שתי התורות יש לבצע קוונטיזציה של שדה הכבידה - להפעיל על שדה הכבידה טכניקות סטנדרטיות לניסוח כוחות במסגרת תורת השדות הקוונטיים. כבר בשנות ה-60, כשניסו להפעיל על הגרוויטון את הטכניקות המקובלות, הסתבר שהדבר אינו פשוט כלל ועיקר. השיטה המקובלת לביטול האינסופים, הרנורמליזציה, אינה עובדת על הגרוויטון - האינסופים בתורה של הכבידה עיקשים יותר מאלו שבתורות השדה המוכרות.  נראה שהבעיה היתה בכך שהחלקיקים הם נקודתיים ולכן פתרון אפשרי הוא "למתוח" אותם לכדי מיתר. כך פותחה תורת המיתרים (ראו: אליעזר רבינוביץ – "על מיתרים ואנשים", גליליאו 17), שברבות הימים נקראה תורת מיתרי העל (superstrings theory). ע"פ תיאוריה זו, כל החלקיקים, כולל הגרביטון, הם ביטוי לרטט שונה של הישות הבסיסית - הלא הוא המיתר - המתנודד על פני מרחב עקום.

רעיון זה מושך במיוחד הואיל והוא מאחד את כל הכוחות והחלקיקים כביטויים שונים של ישות יסודית אחת. כל תדר של תנודה מכיל אנרגיה מסוימת (אנרגיה קינטית) אשר לפי נוסחת איינשטין היא שוות ערך למאסה של החלקיק, בעוד צורת התנודות קובעת את הזהות המשפחתית של החלקיק. לכן, ברגע שנבין מהם החוקים שעל-פיהם נקבעים התדר והצורה של תנודות המיתרים, תהיה בידינו תורה שלמה ומאוחדת המתארת את התנהגות כל החלקיקים והכוחות בטבע.

אך לאיחוד שכזה יש מחיר: אם אכן כל החלקיקים הם פנים שונות של אותה ישות יסודית, אזי אין גבולות אמיתיים בין המשפחות השונות של חלקיקי היסוד. פרמיונים יכולים להפוך לבוזונים ולהיפך. עיקרון זה ניקרא "סימטריית על" (supersymmetry), והוא חוזה שלכל חלקיק המוכר לנו כיום, קיים "אח" סימטרי מהמשפחה השנייה. לאלקטרון, למשל, שהוא כאמור פרמיון (חלקיק חומרי), יש אח בוזון (נושא כוחות): "סלקטרון" ("ס" על-שום היותו סימטרי). תהליך נוסף שאיחוד שכזה חוזה, הוא התפרקות הפרוטון: אם אכן ניתן "לחצות את הקווים" בין המשפחות, אזי הפרוטון, המהווה את הבסיס לכל העולם החומרי הרגיל, יכול להתפרק באופן ספונטאני כאשר אחד מהקווארקים המרכיבים אותו יחליף את עורו ויהפוך מפרמיון לבוזון. אמנם להתפרקות שכזו יש הסתברות נמוכה ביותר, אך תצפיות על מיכל גדול המכיל עשרות אלפי טונות של חומר במשך זמן ארוך מספיק (מספר שנים) אמורות לאתר התפרקויות ספורות כאלו. את התוצאות של תצפיות אלו אפרט בהמשך.

מחיר נוסף שעל מפתחי תורת המיתרים היה לשלם הוא הוספת מימדים לעולמנו. התורה המאוחדת של המיתרים יכולה הייתה להיכתב באופן עקיב מתמטית רק במספר גבוה של מימדי מרחב, בין 9 ל-26! זו תוצאה מוזרה ביותר. מה משמעות הדבר שלתיאוריה פיזיקלית יש יותר משלושה מימדי מרחב? הדבר לא ברור, ולכן נאלצו החוקרים "לדחוס" או "לכרבל" את המימדים המיותרים עד כדי כך שלכל צורך ועניין אפשר להתעלם מהם. למה הדבר דומה? הביטו על צינור השקיה, מקרוב הוא אובייקט בעל שלושה מימדים ומבנה פנימי מורכב, אך אם נביט בו מרחוק נוכל להתייחס אליו כאל קו – מימד אחד בלבד וללא מבנה פנימי.

נמצא שרעיונות אלו מובילים למבנה מתמטי מרשים ומושך. ואולם רבה היתה המבוכה כשנמצאו מספר תיאוריות מיתרים אפשריות. אם תורת המיתרים אמורה לספק את התיאוריה האולטימטיבית על העולם, הרי היא אמורה להיות יחידה ומיוחדת (וראו: קאקו - "על מרחב" הוצאת "הד-ארצי"). גילוי של מספר תיאוריות הפותרות את משוואות המיתרים העלה חשש כבד כי המשוואות (או הנחות היסוד) שגויות. בעקבות ניסיונות ממושכים מצאו הפיזיקאים רעיון כיצד להיחלץ מבעיה זו, ובתוך כך לפתור בעיה מעיקה נוספת.

מלבד בעיית הקוונטיזציה של שדה הכבידה (שכזכור התבטאה בחוסר האפשרות "לבער את האינסופים" על-ידי רנורמליזציה), במודל הסטנדרטי ישנו עוד פגם הידוע בשם "בעיית הקבועים החופשיים". זו אינה בעיה פיזיקלית כי אם פילוסופית: ניסוח המודל הסטנדרטי כולל 18 קבועים שיש למוצאם בניסוי. כך, למשל, אין המודל יכול לחזות את המאסות של חלקיקי היסוד השונים ולכן הוא גם לא מסוגל להסביר את ההפרשים ביניהן. האידיאל של התיאוריה הפיזיקלית קורא לתיאוריה שתחזה ותסביר גם את המאסות של החלקיקים, בדומה לתיאוריה האטומית שידעה להסביר בדייקנות את המאסות של היסודות השונים ואת התכונות הכימיות שלהם.

עם תורת המיתרים, נראה היה שניתן לחסל את שתי הבעיות באיבחת עיפרון אחת: כאמור נמצאו פתרונות אפשריים רבים למשוואות תורת המיתרים. אולם חלקם, הסתבר במהרה, סובלים מבעיות אינסופים שאינם ניתנים לסילוק (על-ידי רנורמליזציה). פתרונות אחרים כלל לא סבלו מבעיית האינסופים. כך, היה נראה, חיש קל ייפטרו הפיזיקאים מכל הפתרונות המכילים אינסופים, עד שלבסוף ייוותר פתרון אחד, פתרון שיאפשר לחשב במדויק את הקבועים החופשיים ובנוסף לכך לא יכיל אינסופים כלל ולא ידרוש רנורמליזציה. פתרון זה ייבחר מתוך שלל הפתרונות האפשריים אך ורק מתוך עקרונות מתמטיים טהורים (וראו: סטיבן ווינברג -  "חזון התיאוריה הסופית", עם עובד). כך תימצא התיאוריה-של-הכול ובנוסף לכך יוכלו הפיזיקאים לחזור ולדבר עם חבריהם המתמטיקאים... התיאוריה שתתקבל תוכתר כ"תיאוריה הסופית" של הטבע: היא תכיל את התיאור השלם של כל התופעות המוכרות מקנה המידה הקטן ביותר ועד ליקום כולו, תוך כדי גזירת כל הקבועים הפיזיקליים מעקרונות יסוד מתמטיים. בכך תוכל אותה תיאוריה סופית גם לתאר וגם "להסביר" את הפיזיקה.

מסתבר שתקוות לחוד ומציאות לחוד. התקווה הגדולה שתלו בתורת המיתרים נכזבה: אמנם פתרונות רבים של התורה אכן התבררו כבלתי עיקביים מתמטית, אך עדיין נותרו מספר פתרונות אפשריים ובהם קבועים חופשיים רבים. כיום מקובלת הדעה שאי אפשר יהיה לסלק את כל הפתרונות פרט לאחד ושבעצם כל הפתרונות המוכרים לתורת המיתרים הינם היבטים שונים של תיאוריה אחת, תיאוריה שעדיין מוטל עלינו לגלותה (ראו גרין - "היקום האלגנטי", הוצאת מטר). המצב מזכיר את המכניקה שלפני ימי ניוטון, עת קפלר גילה, מחד גיסא, כי כוכבי הלכת נעים באליפסות, ומאידך גיסא גלילאו מצא שקליעים נעים במסלול פראבולי. רק לאחר ניסוח התורה הניוטונית ניתן היה לאחד את כל התופעות לכדי תורה מאוחדת שלה עקרונות ברורים.

הרמזים לכך שהתיאוריות השונות הינן פנים שונות של תורה אחת הם מעניינים: במספר מקרים הסתבר שישנה "שניות" ("דואליות") בין תיאוריות מיתרים שונות, דהיינו הן חוזות בדיוק אותן התכונות הפיזיקליות לעולם. אם התחזיות של שתי תיאוריות הן בעיקרון תמיד זהות, אזי הן בעצם ניסוחים שונים של תורה פיזיקלית אחת (זאת, מפני שתפקידה של התיאוריה הפיזיקלית לחזות את התכונות הפיזיקליות של העולם).

לאחר ש"מתחו" הפיזיקאים את הישויות היסודיות מחלקיקים נקודתיים (אפס מימדים) לכדי מיתר מתנודד (בעל מימד אחד), נראה שבאותה תיאוריה עתידית הישויות היסודיות תהיינה ממברנות (מבנים בעלי שני מימדים) או אף P-ברנות ("ממברנות" בעלות מספר כלשהו, P, של מימדים).

לתורת המיתרים יש, אם כן, חסרונות רבים:

ריבוי פתרונות: יש חמש תיאוריות מיתרים עיקריות כשהתחושה הכללית היא שהן פנים שונות של תיאוריה כוללת אחת, אך עדיין לא ברור מהי אותה תיאוריה.

ריבוי מימדי מרחב: בדרך-כלל מספר המימדים הנדרש הוא תשעה, אך יש תיאוריות מיתרים הדורשות יותר מימדים. הואיל ובניסויים לא נמצאו עדויות לקיום מימדי מרחב  נוספים מעבר לשלושה שאנו מכירים, יש צורך ב"כירבול" של המימדים העודפים והעלמתם. אך שיטות שונות של כירבול מניבות ניבויים שונים ושוב אנו נתקלים בריבוי הפתרונות האפשריים. זאת ועוד, התורה לא מסבירה מדוע נחוץ הכירבול, או מדוע עולמנו מכיל דווקא שלושה מימדי מרחב "פתוחים" כשכל השאר מכורבלים.

סימטריית-על: מחייבת קיומם של בני-זוג על-סימטריים לחלקיקים הידועים, לכל חלקיק חומר צריך להתקיים "תאום" בוזוני ולכל חלקיק נושא כוח - "תאום" פרמיוני. למרות מאמץ רב שהושקע בשנים האחרונות, בני זוג אלו מעולם לא נמצאו. כך גם חוזה סימטריית העל את התפרקות הפרוטון. ניסויי התפרקות רבים שנערכו בעשרים השנים האחרונות הסתיימו בכישלון (ובכך הבטיחו ליקום החומרי יציבות גם בעשרות מיליארדי השנים הבאות...).

תורת המיתרים מתארת את התנהגות החומר, אך לא את המרחב בו החומר נמצא: המרחב-זמן משמש כ"במה" סטאטית שעליה מתרחשות האינטראקציות הקוונטיות. תפישה זו מנוגדת לעקרונות היסוד של תורת היחסות.

תורת הלולאות הקוונטיות

תורת המיתרים אינה היחידה בזירה. אחת התיאוריות המתחרות, הכבידה הקוונטית של הלולאות (Loop Quantum Gravity, LQG), זוכה לאחרונה לפריחה ומתייצבת כמתחרה העיקרית של תורת המיתרים.

כדי להציג תורה זו ניזכר בבסיסה של תורת המיתרים. פתרון המשוואות של היחסות הקוונטית התברר כסבוך במיוחד. בכדי לפשט את המשוואות מחלקת תורת המיתרים את עקמומיות המרחב (ה"מטריקה") לשני מרכיבים: "רקע", המכיל את העקמומיות בסקאלות הגדולות, זו הנגזרת מהחישובים של תורת היחסות, ומעל לרקע "הפרעות" (פּרטוּרבַּציות Perturbations) המתוארות על-ידי תנודות המיתרים. ההנחה המרכזית היא שההפרעות זעירות עד שאין הן משפיעות על העקמומיות הגלובלית של המרחב. כך מפורקת הבעיה לשני חלקים, וכל חלק פתיר בפני עצמו. לאחר פיתרון שני החלקים "מניחים" את התנודות הקוונטיות על-גבי הרקע כדי לקבל את הפתרון השלם.

ואולם על פי עקרונות תורת היחסות זו שגיאה חמורה. שהרי על פי תורה זו הכבידה היא ביטוי של עיקום המרחב. לפיכך אין טעם לנסות לתאר את הכבידה הקוונטית כתורת שדות על גבי מרחב מעוקם. לכן המשוואות חייבות להיכתב במרחב חסר מטריקה, דהיינו – על-גבי יריעה      (manifold) "עירומה".

כאמור, תורת המיתרים מפירה דרישה זו. מפתחי תורת הלולאות טענו שהבעיות הקיימות בתורת המיתרים נובעות מהניסיון לתאר את הכבידה כשדה קוונטי מעל מרחב מעוקם. הפתרון הנכון הוא לבצע קוונטיזציה של הכבידה באופן חסר-רקע, תהליך שנקרא "גרוויטציה קוונטית קאנונית". מהלך שכזה אינו קל כלל ועיקר משום שהמטריקה, המכילה את עקמומיות המרחב, מופיעה בחישובים היסודיים ביותר של תורת השדות הקוונטיים. מכאן שיש לנסח מחדש את תורת השדות הקוונטיים, באופן חסר רקע, תהליך הנמשך משנות ה-70 ועד היום.

מרחב ללא מרחק

כבר בשנות השישים הצליחו הפיזיקאים לנסח, ואף לפתור, כמעט את כל המשוואות היסודיות של הכבידה הקוונטית. אך משוואה אחת, משוואת וילר דה-ויט (Wheeler DeWitt), נותרה ללא פתרון, והיא מהוה את מוקד הבעיה עד היום הזה.

ב-1986 הצליחו אמיטבה סן ואבהי אשטקר (Sen, Ashtekar) לנסח מחדש את תורת היחסות הכללית (הרגילה, לא הקוונטית) בעזרת מבנה מתמטי שנקרא "משתני אשטקר". ב-1988, הבינו לי סמולין וטד ג'קובסון (SmolinJacobson) שמשוואת וילר דה-ויט ניתנת לפתרון כאשר היא מנוסחת בעזרת משתני אשתקר. לצורך כך היה עליהם להניח כבסיס שהמרחב אינו רציף: במקום לאפשר פיתרון של המשוואות בכל נקודה בחלל, חישבו סמולין וג'קובסון את פתרון המשוואות אך ורק לאורך לולאות במרחב. כשהשתמשו בהנחה זו, נמצא כי למשוואות הגרוויטציה הקוונטית, שבמשך שני עשורים לא נמצא להן אף לא פתרון אחד, יש משפחה שלמה של פתרונות.

תורת היחסות דורשת, כאמור, פתרונות שאינם תלויים ברקע, אך בניסוח של סמולין וג'קובסון הלולאות היו מוגדרות במרחב. אם כך, הצעד הבא הוא להפוך את התמונה על פיה ולתאר את המרחב על-ידי הלולאות: הלולאות עצמן תהיינה ישויות יסודיות שאינן תלויות ברקע, ואילו עקמומיות המרחב תיקבע על-ידי היחסים בין הלולאות. ואכן, שנה לאחר מכן הצליחו סמולין וקרלו רובלי (Rovelli) לתאר את פתרון הלולאות באופן חסר רקע. זה היה הניסוח הראשון של "תורת הגרוויטציה הקוונטית של הלולאות".

עד כה, הפתרונות היו פשוטים בתכלית. כעת הגיע הזמן "לתפור" חזרה את המרחב-זמן של תורת היחסות. זוהי בעיה הנקראת "הקירוב הקלאסי": להראות כי ניתן להגיע מתורה קוונטית לקירוב של המשוואות הלא-קוונטיות המוכרות מהפיזיקה הקלאסית.

חמש שנים של פיתוחים מתמטיים נדרשו כדי לבנות מפתרון הלולאות קירוב למטריקה של תורת היחסות. אשטקר, רובלי וסמולין תיארו לראשונה ב-1992 כיצד ניתן "לארוג" מהלולאות מטריקת מרחב-זמן שטוחה, דהיינו ריקה, ללא חומר. שנה לאחר מכן חישבו ג'וניצ'י איואסאקי (Iwasaki) ורובלי כיצד יתנהג גרוויטון על-פני מארג הלולאות, וב-1994 נעשו חישובים ראשונים של יחסי הגומלין בין מארג הלולאות ופרמיונים (חלקיקי חומר). כמו כן הצליחו רובלי וסמולין לחלץ מהמשוואות מידות של מרחב: נפח ושטח. שנה לאחר מכן מצאו רובלי, סמולין וג'ון באז (Baez) שהייצוג הנוח ביותר של הלולאות הוא מבנה מתמטי הנקרא "רשת סְפִּין".

 

לולאות, חורים ומידע

אחת התוצאות המעניינות של תורת הלולאות קשורה בחורים שחורים. מהו חור שחור? כידוע, לכדור הארץ יש "מהירות בריחה", מהירות בה יש לנוע בכדי להיחלץ מכוח המשיכה. כל עצם שינוע לאט יותר ממהירות זו, סופו שיאט את תנועתו, יעצור ויפול חזרה. בנוסף לכך, אם נדחס את כדור הארץ לכדור קטן יותר, עוצמת הכבידה על פניו תגדל ולכן גם מהירות הבריחה תגדל. אם נדחס את כדור הארץ לכדור בקוטר של מספר סנטימטרים נגיע למהירות בריחה הגבוהה ממהירות האור. היות שאין עצם שיכול לנוע מהר ממהירות האור, הרי שום דבר, אף לא האור עצמו, לא יוכל לברוח מכדור הארץ הננסי. מי שיביט מרחוק בכדור נדחס עוד ועוד פתאום לא יראה עוד דבר. כדור הארץ יהפוך לחור שחור.

ההתנגדות לרעיון החורים השחורים באה מכיוון לא צפוי, התרמודינמיקה. על פי החוק השני של התרמודינמיקה, במערכת סגורה, האֶנטרוֹפיה, שהיא מידת אי הסדר הפנימי במערכת, לעולם לא תקטן. למשל, אם בחדר סגור ומבודד אניח כוס קפה רותח ואחכה, הכוס תתקרר, אך האוויר בחדר יתחמם. אי הסדר הפנימי שבכוס, הנוצר מהטמפרטורה הגבוהה שלה, התפזר ברחבי החדר. כעת הכוס יותר "מסודרת" (קרירה) על חשבון החדר שהתחמם. אך סך כל אי הסדר בחדר הסגור נותר בעינו ואף גדל.

אולם, לו היה בידי חור שחור קטן, יכולתי להשליך את כוס הקפה פנימה ו"להעלים" את אי הסדר שהיא נושאת. בחדר הסגור, לפתע, הייתה נרשמת ירידה חדה באי הסדר (פתרון מצוין לחדרי ילדים, דרך אגב). יעקב בקנשטיין מהאוניברסיטה העברית כתב בשנות ה-70 שהחורים השחורים חייבים גם הם לשמור על החוק השני (וראו: יעקב בקנשטיין – "חורים שחורים וגבולות המידע", גליליאו 35). כשנשליך לחור את כוס הקפה הוא יגדל, חורים שחורים כאמור תמיד גדלים כי דבר אינו יכול לברוח מהם. לכן, טען בקנשטיין, יש להוסיף גם את שטח הפָּנים של החור השחור לחישוב אי הסדר הכולל בחדר, רק כך תפיחת החור השחור תפצה על היעלמות כוס הקפה והחוק השני של התרמודינמיקה ישמר ("שטח הפנים" של חור שחור הוא אותו הגבול - אופק האירועים - ממנו דבר לא יכול עוד להיחלץ).

אך גם כאן הייתה בעיה: התרמודינמיקה קושרת את אי-הסדר הפנימי, האֶנטרופיה, עם קרינה תֶרמית . חור שחור, אם כך, חייב להיות חם. ואכן, ב-1973 הראה סטיבן הוקינג כי כשמפעילים את העקרונות של תורת הקוונטים על חורים שחורים, מוצאים שנפלטת מגוף שכזה קרינה תרמית, קרינה המתאימה בדיוק לגוף הנמצא בטמפרטורה החזויה לחור השחור על פי האנטרופיה האצורה בשטח הפנים שלו (ראו: סטיבן הוקינג - "קיצור תולדות הזמן", הוצאת מעריב).

מה הקשר בין תרמודינמיקה, טמפרטורה, מכניקת הקוונטים וחורים שחורים? שאלה טובה, וכיום עדיין אין עליה תשובה טובה. אך רמזים מתקבלים מן התיאוריות שמשלבות בין תורת היחסות לתורת הקוונטים. ומה חוזה בהקשר זה תורת הלולאות?

מעֵבר לקשר בין שטח הפנים של החור השחור למידת האנטרופיה שלו, ישנו גם קשר בין האנטרופיה למידע: האנטרופיה של מערכת מבטאת את מספר הסידורים הפנימיים שהמערכת יכולה לקבל – יותר מצבים פנימיים מאפשרים יותר "בלגן" ולכן יותר אנטרופיה (קל יותר לסדר חדר קטן עם מספר מצומצם של פריטים מאשר מחסן גדול ועמוס). אך כדי לאפשר מספר רב של מצבים פנימיים יש להשתמש במספר גדול של מרכיבים, המהווים בעצם מספר גדול של יחידות מידע: ביטים. משילוב של שני הרעיונות הללו ניתן לצפות כי חור שחור בעל אנטרופיה גבוהה חייב להכיל יותר אינפורמציה. במפתיע נמצא שהגידול הנדרש במידע מתאים בדיוק לגידול הדרוש בשטח הפָּנים של החור השחור. כאילו קיימת יחידת שטח מינימלית, בדידה, המכילה יחידת מידע, ביט אחד של מידע, וכדי להכיל N ביטים של מידע יש להשתמש ב-N יחידות שטח לפחות. עיקרון זה נקרא "גבול בקנשטין" (Bekenstein’s bound). ההשלכות לגבי חורים שחורים הן מעניינות: כשזורקים לתוך חור שחור חפץ כלשהו, נישאת עמו גם מידה מסוימת של אינפורמציה ואנטרופיה. לכן שטח הפנים של החור השחור חייב לגדול במספר יחידות השטח שיאפשרו קידוד המידע החדש (תיאוריות שונות של חורים שחורים אף טוענות במפורש שחפצים שנופלים לחורים שחורים נשארים "מרוחים" על פני השטח שלו). נראה כאילו המידע על הנעשה בתוך החור השחור מקוּדדת על שטח פניו.

תופעה זו זכתה בכינוי "העיקרון ההולוגרפי" - כמו שהולוגרמה, שהיא לוח דו מימדי, מכילה מידע המאפשר שיחזור תלת מימדי, כך גם על פני השטח של חור שחור נמצא כל המידע על הנעשה בתוכו. אם נשליך פנימה מידע נוסף, יגדל שטח הפנים בכדי שיספיק לתאר גם את המידע החדש.

ב-1996 הצליחו רובלי וקיריל קרַסנוב (Krasnov) לתאר בעזרת תיאורית הלולאות חורים שחורים. כזכור, על פי התיאוריה, המרחב הוא רשת של צמתים וקשתות, כשהצמתים מהווים יחידות בדידות של נפח ואילו הקשתות – יחידות בדידות של שטח. העברת מידע ברשת יכולה להיעשות אך ורק לאורך הקשתות. הדבר מתיישב עם ההיגיון משום שהעברת מידע בין יחידת נפח אחת לשכנתה חייבת להיעשות דרך הפאה המשותפת שלהן. אם ניישם זאת לגבי חורים שחורים נמצא שיכולת העברת המידע מהחור השחור החוצה תלויה אך ורק בשטח הפנים שלו – והרי זה העיקרון ההולוגרפי.

תורת הלולאות נותנת, אם כן, פתרון קוונטי למשוואות היחסות הכללית, תוך שהיא שומרת על המהות העקרונית של תורת היחסות – חוסר תלות ברקע. תורת הלולאות מאפשרת גם חישוב קוונטיזציה של המרחב, ואין צורך ברנורמליזציה – מאחר שהמרחב בדיד, אין צורך בתעלולים מתמטיים בכדי להיפטר מהאינסופים שפגמו בתורת השדות הקוונטיים. יתר על כן, תורת הלולאות מצליחה לתאר חורים שחורים.

ואולם תורת הלולאות אינה נקייה מחסרונות: בניגוד לתורת המיתרים, זו אינה תיאוריה-של-הכול –  בעוד תורת המיתרים הצליחה לתאר את כל החלקיקים והכוחות כתנודות שונות של המיתרים, תורת הלולאות מתארת אך ורק את המרחב והזמן. נוסף לכך הדינאמיקה שבה אינה ברורה - עדיין לא ברורים החוקים הקובעים את ההשתנות של רשתות הספין בזמן. כך גם המצב ביחס  ליחסי הגומלין עם החומר: נעשה ניתוח ראשוני של הקשר של רשת הספין עם שדות פרמיוניים, אך עדיין ארוכה הדרך לתיאור מספק של התנהגות חלקיקי החומר.

מבט לעתיד

שתי התיאוריות של הכבידה הקוונטית –  המיתרים והלולאות, אינן סותרות זו את זו. מכאן שיש אפשרות לסינתזה בין שתי תורות אלו. תורת הלולאות יכולה להיכתב בכל מספר של מימדים, לכן ניתן לנסח אותה גם בתשעה מימדים עבור תורת המיתרים. כך רשת הלולאות תהווה את המִרקם ממנו מורכב המרחב-זמן. על-גבי המרקם הדינאמי של הלולאות ינועו המיתרים, שאינם אלא תיאור מתמטי של הדינאמיקה של האדוות במִרקם המרחב-זמן. מיתרים אלה מייצגים באופן מאוחד את כל החלקיקים והכוחות בטבע. מכאן שריבוי תיאוריות המיתרים נובע מכך שאלה פתרונות שונים, או אולי היבטים שונים, של תורת מיתרים אחת. תורה זו נמצאת עדיין בחיתוליה, אבל שם כבר ניתן לה: תורת ה- M (ושוב ראו את מאמרו של יוסף ורבין, גליליאו 43) האגדה מספרת שאיש אינו יודע מה מסמלת ה-M, אולי "ממברנות" אולי "מסתורין" (ובעברית, אולי: אֵם כל התיאוריות…).

כאמור, במקרים מסוימים ניתן להראות שתורות מיתרים שונות מנבאות אותו עולם פיזיקלי ולכן בעצם אין הן אלא צורות שונות של אותה התיאוריה. יתר על כן, מתקבל רמז לקוונטיזציה של המרחב מתוך תורת המיתרים משום שלעיתים לא ניתן לתאר מימד קטן יותר מאורך יסוד זעיר. רמז נוסף נמצא בעובדה שבמקרים מסוימים המיתרים נראים כאילו מורכבים מיחידות קטנות: "ביטים" של מיתר. אם כך, לא ניתן לתאר מיתר הקטן מביט אחד.

קוונטיזציה של המרחב היא אחת התוצאות החשובות של תורת הלולאות. כאמור תמיכה ברעיון הקוונטיזציה של המרחב נמצא גם בתיאורית החורים השחורים (קידוד האינפורמציה ב"ביטים" על-פני שטח החור השחור). מכל התופעות הללו עולה תמונה עקבית בה המרחב, ברמה היסודית, הוא בדיד. רק מפני שאנו מכירים אותו בקנה מידה גדול בהרבה הוא נראה לנו רציף ואחיד. אך כיצד ניתן להכריע באורח מדעי בין כל האפשרויות?

התשובה המקובלת בפיזיקה היא, כמובן -  בניסוי. אלא שכשמדובר בתיאוריה קוונטית של הכבידה המצב אינו פשוט. סדרי הגודל בהם מדובר הם זערוריים ביותר: רדיוס אטום המימן הוא בערך 10 ^-10 מטר, גרעין האטום הוא מסדר גודל של  ^15- 10 מטר, מאיצי החלקיקים שבשימוש כיום מעמיקים חקר עד כדי ^19- 10 מטר. אולם האורך האופייני בתורות המיתרים והלולאות, הוא "אורך פלאנק" השווה בערך ל- ^35-  10 מטר. משמעות הדבר היא שהיחס בין אורך פלאנק לעולם הקוונטי של גרעיני האטומים הוא דומה ליחס בין עולמנו (שבו האורך האופייני הוא מטר) לגרעיני האטום!

בעולם הזעיר של החלקיקים האלמנטריים, כדי לחקור מרחקים הולכים וקטנים יש להשתמש באנרגיות הולכות וגדלות (ניתן לחשוב על כך כעל ניסיון לירות חלקיקים הדוחים זה את זה, ולכן כדי לקרב אותם יותר ויותר יש להשתמש באנרגיות הולכות וגדלות). סקאלת פלאנק קטנה בכ-15 סדרי גודל מהסקאלה אליה מגיעים מאיצי החלקיקים הגדולים, משמע שכדי לחקור את עולם המיתרים והלולאות ניזקק לאנרגיות גבוהות פי 10¹⁵ מאלו המשמשות כיום במאיצי החלקיקים. אנרגיה בכמות כזו נוצרת רק בפיצוצים מסדר גודל של גלקסיות, ואין שום סיכוי שבעתיד הנראה לעין נוכל לרתום אנרגיות כה גבוהות למחקר מדעי. מכאן שחקירה ישירה של העולם בסקאלת פלאנק אינה אפשרית. אך אל ייאוש, מספר חישובים מצביעים על כך שניתן לבצע מחקר של סקאלת פלאנק באמצעים עקיפים. רעיון אחד הוא להשתמש ביקום כולו כמיקרוסקופ ענק: על פי התיאוריה הקוסמולוגית הרווחת, לאחר המפץ הגדול הייתה תקופה של התפשטות מהירה ("אינפלציה", או "תפיחה") בה התנפח היקום לפחות פי 10³⁰. על פי אחד החישובים, התנודות הקוונטיות מסקאלת פלאנק נמתחו בתקופת האינפלציה לקנה מידה מאקרוסקופי והותירו עקבות בקרינת הרקע הקוסמית. בימים אלה ממש מתקבלים נתוני הלווין WMAP הצופה בקרינה זו (וראו מאמרו של אוריאל בריזון בגיליון זה). ניתוח התוצאות יארך מספר שנים, אך אם המרחב אכן קוונטי בסקאלת פלאנק, ניתן יהיה לזהות סטיות סטטיסטיות מסגירות בתצפיות הלווין.

רעיון אחר הוא להשתמש בעיקרון ההולוגרפי: כאמור, יש מגבלה על כמות המידע המוכלת בשטח מסוים, מגבלה זו חלה כמובן גם על היקום כולו. לאחר המפץ הגדול היקום היה זעיר ביותר, כך שתכולת המידע בו הייתה קטנה מאד. התיאוריה חוזה שלאחר תקופת האינפלציה, תכולת המידע הנמוכה תיוותר "חקוקה" בקרינת הרקע הקוסמית. כך שגם תוצא זה אפשר יהיה לזהות בנתוני הלוויין WMAP.

עוד אפשרות היא לנצל תוצא של הקוונטיזציה של המרחב. חישובים מראים שמרחב בדיד מוליך אור באורכי גל שונים במהירויות שונות. הפרש המהירויות הוא זעיר ביותר, אך על פני סקאלות מרחק קוסמולוגיות הוא יכול ליצור הפרש מדיד. האסטרונומיים מכירים אירועים קוסמיים הנקראים "התפרצויות קרני גאמא", אלו הן התפרצויות אנרגיה אדירות שעדיין לא ברור מקורן, אך ידוע כי האירועים שגרמו להן מרוחקים מאיתנו מיליארדי שנות אור (וראו: "אלפי שמשות שחורות", גליליאו 30). תצפיות בהתפרצויות אלו, מראה החישוב, תוכלנה לזהות את ההפרשים הזעירים במהירות האור.

אם כך, יש רעיונות רבים ומוזרים לגבי המבנה היסודי של היקום. מספר לא מבוטל של רעיונות קיימים לביצוע ניסויים שיוכלו בשנים הקרובות לאשש או לפסול חלק מהתיאוריות הללו. בהחלט ייתכן שבעשור הקרוב תתחולל המהפכה הבאה בהבנתנו את היקום – ואולי זו תהיה המהפכה האחרונה.